Volume della sfera

Archimede riuscì a dimostrare che il volume della sfera è pari a due terzi del volume del cilindro circoscritto.

Questa animazione mostra il cilindro (in rosso a sinistra), la sfera (in blu a destra) e un doppio cono, inscritto nel cilindro (in verde al centro). I tre solidi sono tagliati a metà da un piano verticale (che contiene il centro della sfera e gli assi del cilindro e del cono), allo scopo di vedere meglio cosa succede. Vogliamo mostrare che il volume della sfera è uguale alla differenza fra il volume del cilindro e quello del doppio cono.

Facendo click & drag sulla figura si può cambiare il punto di vista.

I tre solidi sono tagliati anche da un piano orizzontale (cioè perpendicolare agli assi del doppio cono e del cilindro) e in alto se ne vedono le sezioni, che sono in generale tre cerchi (di cui vediamo qui solo tre semicerchi). Si può modificare l’altezza di questo piano tramite il cursore sotto la figura e osservare così come variano le dimensioni dei tre cerchi: il cerchio rosso, sezione del cilindro, resta sempre delle stesse dimensioni; il cerchio verde, sezione del cono, aumenta quando si sposta il cursore verso destra e diminuisce nell’altro verso, riducendosi a un punto quando il cursore è completamente sulla sinistra; il cerchio blu, sezione della sfera, aumenta quando si sposta il cursore verso sinistra e diminuisce nell’altro verso, riducendosi a un punto quando il cursore è completamente sulla destra.

Sulla destra si vede un triangolo rettangolo in cui:

• l’ipotenusa (in rosso) è il raggio della sfera, ed è quindi anche uguale al raggio del cerchio rosso che è la sezione del cilindro;
• un cateto (in verde) è la distanza fra il piano secante e il centro della sfera ed è uguale al raggio del cerchio verde, la sezione del doppio cono;
• l’altro cateto (in blu) è il raggio del cerchio blu che è la sezione della sfera.

Per il Teorema di Pitagora (applicato ai cerchi anziché ai quadrati) possiamo concludere che l’area del cerchio rosso è la somma dell’area del cerchio verde e dell’area del cerchio blu.

Per il principio di Cavalieri, questo garantisce anche che il volume del cilindro è la somma del volume del doppio cono (che è 1/3 del volume del cilindro) e di quello della sfera: cioè il volume della sfera è i 2/3 del volume del cilindro.  

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